Differentialregning handler groft sagt om at kunne finde et mål for, hvor hurtigt en funktion vokser eller aftager, hvornår den vokser eller aftager - og hvornår den har maksima og minima (ekstrema).
Praktisk kommentar: Inden timen er ovre, skal du printe denne side!

Opgave A
Prøv ud fra denne film (nr. 1) med en graf med "løbende" tangent at forklare, hvordan du forstår begrebet "en tangent til en graf i et punkt".
Når du har skrevet en forklaring på dette, så skal du sammenligne med den næste lille film, som viser ét fast punkt med én fast tangent, men som zoomer mere og mere ind på området. Passer din beskrivelse også på denne film (nr. 2)?

Opgave B
Se igen på film nr. 1:
Hvad man kan konkludere om:
- størrelsen af tangentens stigningstal i forhold til grafens stejlhed?
- tangentens stigningstal i forhold til funktionens monotoniforhold (voksende/aftagende områder)?
- tangenten i forhold til funktionens lokale ekstrema (maksima/minima)?

Opgave C
Du skal nu kontrollere dine svar til ovenstående spørgsmål. Det gør du ved at vælge "spor" men ikke "mand" på denne lille film (nr. 3) og trække (roligt!) frem og tilbage i det røde punkt.
Læg især mærke til, hvor sporet har det største udsving og hvornår det er positivt / nul / negativt.
Hvis dine svar ovenfor passede med denne film også, kan du gå videre, ellers skal du se på film nr. 1 igen.

Kommentar:
Det, som kom frem som det røde "spor" i film nr. 3, viser jo faktisk grafen for en ny funktion. Denne funktion kaldes f ' (det siges "f mærke") eller i lidt flere ord: Den afledte funktion. Du har ovenfor fundet frem til en sammenhæng mellem tangentens stigningstal (dvs. den afledte funktion) og den oprindelige funktion.

Opgave D
Vi skal nu se, hvordan man finder frem til tangenten til en graf i et punkt. Vi skal nemlig se på sekanter til grafen - hvor en sekant er en linje, der skærer grafen i to punkter - på denne lille film (nr. 4). Forklar ud fra filmen, hvad sammenhængen mellem sekanterne og tangenten er.

Opgave E
Det er ikke altid, at man kan definere en tangent i et punkt. Forklar ud fra denne side (med film nr. 5 og 6), hvornår og hvordan det kan gå galt.
 

Opgave F - lektie derhjemme, hvis du ikke når den i timen Se igen på grafen for funktionen  (fra det udleverede ark). a) Beregn koordinaterne for punkterne Pog Q, hvis . b) Beregn ligeledes koordinaterne for punkterne R, hvis  og S, hvis . c) Indtegn nu (på det udleverede ark) de fire punkter. d) Indtegn nu følgende fire linier: Sekanten q gennem punkterne P og Q, sekanten r gennem P og R, sekanten s gennem P og S samt tangenten t i P. e) Aflæs efter bedste evne hældningstallet for de fire linier og beregn desuden hældningstallet for q, r og s. f) Gå nu ud fra de generelle betegnelser for P og Q (dvs. hvor du ikke har lagt dig fast på, hvad og h skal være). Opskriv med disse generelle betegnelser hældningstallet for sekanten gennem P og Q og reducér på udtrykket. Vink: Du kender et andet navn for tælleren! g) Du kender altså nu et udtryk for sekanternes hældning - hvordan finder du så frem til tangentens hældning?

De forskellige små film (applets) er hentet hos
http://www.math.umn.edu/itcep/delta-m/tse (af Paul Garrett)
http://www.itc.fa.dk/software/ies-math.htm (fra Amtscentret for Undervisning, Hillerød)
http://www.ima.umn.edu/~arnold/graphics.html (af Douglas N. Arnold)